TL;DR
プロパティ名は前もって分からないが、値の形は分かっているオブジェクトを表す TypeScript の構文である。[key: string]: number のように、キーの型と値の型を書く。
なぜ必要か
辞書（連想配列）のように、どんなキーが入るかを型の定義の時点で決められないオブジェクトに型を付けられる。
仕組み
キーに使える型は、string、number、symbol、テンプレートリテラル型と、それらだけから成るユニオン型である。
string のインデックスシグネチャを書くと、他のプロパティもすべてその値の型に合わせる必要がある。obj.property は obj["property"] としても参照できるので、型がそろっていないとエラーになる。
JavaScript は数値でインデックスするときに数値を文字列に変換するので、number と string の両方のインデックスシグネチャを書くときは、number 側の値の型を string 側の値の型の部分型にする。
例
interface NumberDictionary {
[index: string]: number
length: number // OK
name: string // エラー: string は number に代入できない
}
interface ReadonlyStringArray {
readonly [index: number]: string
}readonly を付けると、インデックスを使った代入を禁止できる。
注意点
Effective TypeScript 第2版 ―型システムの力を最大限に引き出す83項目 では、インデックスシグネチャよりも適切な代替手段を使うことと、数値のインデックスシグネチャは誤解を招くので避け、Array、タプル型、ArrayLike、Iterable を使うことを勧めている。また、noUncheckedIndexedAccess を有効にすると、インデックスシグネチャのプロパティを参照するときに undefined のチェックが必須になる。