TL;DR
取りうるすべての入力に対して、出力が 1 つ定まる関数。一部の入力で値が定まらない関数は部分関数と呼ぶ。
なぜ必要か
Domain Modeling Made Functional によると、関数を全域関数として設計すると、すべてのエフェクトを型シグネチャで文書化できる。シグネチャが int -> int の関数が 0 で例外を投げるなら、int を渡しても int が返るとは限らず、シグネチャが実際の振る舞いを表さなくなる。
仕組み
Wikipedia の定義では、集合 X から集合 Y への部分関数のうち、X のすべての要素で値が定まるものを全域関数という。計算機科学では、部分関数は例外を投げるか無限ループに陥るサブルーチンに当たる。型システムが関数の正確な定義域を表せないときにも、関数は部分関数として扱われる。
Domain Modeling Made Functional では、部分関数を全域関数にする方法として 2 つを挙げている。1 つ目は、0 を含まない NonZeroInteger のような型で入力を制限し、不正な値を受け取らないようにする方法である。2 つ目は、int -> int option のように Option 型で出力を広げ、値がない場合も戻り値で表す方法である。
例
除算は分母が 0 のとき定まらないので部分関数である。自然対数も 0 以下の実数では定まらないので部分関数だが、定義域を正の実数に制限すれば全域関数になる。