TL;DR
型アノテーションが書かれていない式や変数の型を、すでに分かっている型の情報からコンパイラが決めること。
なぜ必要か
型推論があれば、静的な型検査の恩恵を受けながら、すべての変数や引数、戻り値に型を書かずに済む。Domain Modeling Made Functional によると、F# では型推論が効くので、型を明示的に書く必要はほとんどない。TypeScript のハンドブックも、最初は思っているより少ない型アノテーションで書いてみるよう勧めている。
仕組み
型推論入門によると、型推論は確定している型の情報を集め、それをもとに型の制約を生成して解く。このアルゴリズムの違いが言語ごとの個性になる。ML 系の言語で多く使われる Hindley-Milner 型推論は、制約を単一化で解く。ただし、そのままでは部分型を推論できないので、TypeScript は採用していない。
TypeScript のハンドブックによると、TypeScript は変数やメンバの初期化、引数のデフォルト値、関数の戻り値の型を決めるときに型推論を行う。複数の式から推論するときは、すべての候補と互換性のある「最適な共通型」を選ぶ。式が置かれた場所から型を決める文脈的型付け（contextual typing）もある。
例
let x = [0, 1, null] // (number | null)[]
window.onmousedown = function (mouseEvent) {
console.log(mouseEvent.button) // mouseEvent は MouseEvent と推論される
}F# では、let add x y = x + y の型シグネチャが int -> int -> int と推論される。
注意点
最適な共通型は候補の型の中からしか選ばれない。[new Rhino(), new Elephant(), new Snake()] は Animal[] ではなく (Rhino | Elephant | Snake)[] と推論されるので、Animal[] にしたければ型アノテーションを付ける。Effective TypeScript 第2版 ―型システムの力を最大限に引き出す83項目 によると、1 つの変数を異なる型の値に使い回すと、型推論がうまく効かない。