空虚な真

TL;DR

命題「$P(x)$ ならば $Q(x)$」で、$P(x)$ を満たす要素が存在しないとき、この命題は空ゆえに真（vacuously true）であるという。このような真を空虚な真と呼ぶ。

仕組み

述語 $P(x)$ の真理集合が空集合である、つまり $P(x)$ を満たす要素がないとき、命題「$P(x)$ ならば $Q(x)$」は真になる。これは含意の定義から決まる形式的なものである。

含意 $P(x)\Rightarrow Q(x)$ は、$P(x)$ が偽である限り、$Q(x)$ の真偽に関わらず常に真である。含意の真理値表は次のとおり。

p	q	p → q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

関連

• 含意
• 空集合

出典

• 空虚な真 - Wikipedia