TL;DR
関数が値を返す代わりに、継続を引数として受け取り、結果をその継続に渡す書き方である。Continuation-Passing Style（CPS）とも呼ぶ。
なぜ必要か
継続渡しスタイルで書くと、計算の順序を固定できる。
Wikipedia によると、継続渡しスタイルでは、手続きからの復帰が継続の呼び出しとして表され、引数の評価順序も明示される。直接スタイルでは暗黙だった制御の流れが表に出るので、関数型言語や論理型言語のコンパイラは継続渡しスタイルを中間表現として使うことがある。命令型言語のコンパイラで使われる静的単一代入形式とは、ある意味で等価であることが知られている。
例
Scheme で、2 つの数を足す普通の関数は次のように書く。
(define (add x y)
(+ x y))継続渡しスタイルでは、結果を返さずに、引数で受け取った継続 cont に渡す。次の例では、足した結果を 3 倍する処理を継続として渡している。
(define (add-cps x y cont)
(cont (+ x y)))
(add-cps 1 2 (lambda (result) (* result 3)))末尾呼び出しは、呼び出す手続きに呼び出し側と同じ継続を渡すことにあたる。そのため、末尾再帰で書いた関数を継続渡しスタイルにすると、再帰しても継続は大きくならない。