TL;DR
既存のクラスの属性や振る舞いを新しいクラスに引き継ぎ、機能を追加・変更できるようにするしくみである。引き継ぐ側をサブクラス（子クラス）、引き継がれる側をスーパークラス（親クラス）と呼ぶ。
なぜ必要か
作りたいクラスのコードの一部を持つクラスがすでにあれば、そこから新しいクラスを派生させて、既存のフィールドやメソッドを書き直さずに再利用できる。クラスの間に階層ができるので、多態性を使って異なるクラスを同じように扱える。
仕組み
Java のチュートリアルによると、サブクラスはスーパークラスのメンバ（フィールド、メソッド、ネストしたクラス）をすべて継承する。コンストラクタはメンバではないので継承されないが、サブクラスから super(...) で呼び出せる。Java では、Object 以外のすべてのクラスは直接のスーパークラスを 1 つだけ持つ（単一継承）。
例
public class MountainBike extends Bicycle {
public int seatHeight;
public MountainBike(int startHeight, int startCadence,
int startSpeed, int startGear) {
super(startCadence, startSpeed, startGear);
seatHeight = startHeight;
}
public void setHeight(int newValue) {
seatHeight = newValue;
}
}MountainBike は Bicycle のフィールドとメソッドをすべて継承し、seatHeight フィールドとそれを設定するメソッドを足している。
注意点
複数のスーパークラスを持つ多重継承では、どのメンバが参照されるのかを把握しにくくなる。そのため Java や C# は、クラスの継承を単一継承に限り、インタフェースは複数実装できるようにしている。
差分だけを書く目的で継承を使うと、データとメソッドが階層に散らばって把握しにくくなる。代わりに合成（コンポジション）が重視されるようになっている。テスト駆動開発（書籍） でも、一般には継承より委譲と言われることに触れている。