TL;DR
「ソフトウェアの構成要素は、拡張に対して開かれていて、修正に対して閉じていなければならない」という原則。SOLID 原則の O にあたる。
なぜ必要か
Wikipedia（日本語版）によると、既存のコードを書き換えずに振る舞いを広げられるので、稼働中のシステムでは、変更後のコードレビューや単体テストなどの品質検査を最小限に抑えられる。
仕組み
Bertrand Meyer が 1988 年の著書『Object-Oriented Software Construction』で提唱した。モジュールは、フィールドや関数を足して拡張できる間は「開いている」。安定したインタフェースを持ち、他のモジュールから使える状態になれば「閉じている」。
この原則には 2 つの解釈がある。Meyer の原則は、継承で実装を拡張する考え方である。クラスはコンパイルして使えるので閉じているが、サブクラスを作れば拡張できるので開いている。もう 1 つは、Robert C. Martin が 1996 年の記事で示したポリモーフィックな原則である。変わらないインタフェースを定め、それを実装するクラスを差し替えて振る舞いを足す。