TL;DR
データの種類を表す識別子。もともとは電子メールのために作られた。
なぜ必要か
Wikipedia によると、電子メールの書式を定める RFC 5322（旧 RFC 822）では US-ASCII のテキストしか扱えず、本文も 1 つに限られていた。MIME は新しいヘッダと符号化方式を定め、画像や音声などのデータを 1 通のメールで送れるようにした。HTTP でのデータの伝送にも、MIME の枠組みが使われている。
MDN によると、ブラウザは URL の扱い方を、ファイルの拡張子ではなく MIME タイプで決める。そのため、Web サーバはレスポンスの Content-Type ヘッダで正しい MIME タイプを返す必要がある。
仕組み
MIME タイプは タイプ/サブタイプ の形で書く。タイプは text や video のような大分類で、サブタイプは正確なデータの種類を表す。;名前=値 の形でパラメータを付けられ、大文字と小文字は区別しない。現在の名前はメディアタイプで、RFC 6838 で定められ、IANA が公式な一覧を管理している。
例
text/plain;charset=UTF-8: 文字コードを指定したテキストtext/html、text/css、text/javascript: HTML、CSS、JavaScriptapplication/json: JSONapplication/octet-stream: 種類の分からないバイナリデータ。ブラウザは通常、ダウンロードとして扱うmultipart/form-data: HTML フォームをPOSTで送るときに、複数の部分をまとめたもの
注意点
MDN によると、MIME タイプがない、または誤っているとき、ブラウザは中身を調べて種類を推測する（MIME スニッフィング）。この挙動はブラウザごとに違い、セキュリティ上の懸念もあるので、サーバは X-Content-Type-Options ヘッダで推測を止められる。